1. 数理逻辑#

1.1. 命题#

定义：具有确切真值的陈述句成为命题。命题的真值只有“真”和“假”两种，记作T(1) or F(0)

真值不一定是True

命题是推理的基本单位。

一切没有判断内容的句子都不是命题

如：祈使句、感叹句、疑问句、二义性的陈述句、或者具有变量

句子本身可以有真假，允许我们不知道答案。

原子命题（简单命题）：不能再分解为更简单命题的命题。

复合命题：可以分解为简单命题的命题，这些简单命题通过连接词和标点符号连接。

1.2. 命题联结词#

• 否定联结词，$\neg$，表示复合命题”非 P”，称作P的否定式

• 合取联结词：$\land$，表示P 并且 Q（或 P 和 Q），称为P与Q的合取式

$\land$表示自然语言中的“并且”、“既…又…”、“但是”、“和”、“与”、“不仅 而且”， “虽然 但是”、“一方面 一方面”等逻辑的抽象。

注意：但、虽然 但、这些逻辑的非都是蕴含在简单命题中。

如：虽然天气好，但是我不出门；可以表示为：天气好$\land (\neg$出门)

• 析取联结词：$\lor$，表示P 或 Q，称为P与Q的析取式

自然语言中，“或”具有“可兼或(同或)”与“不可兼或(异或)”两种。严格来说析取联结词“ $\lor$ ”表示可兼或，异或联结词“ $\oplus$ ”表示不可兼或。

可兼或：可以同时为真 不可兼或：不可以同时为真

• 蕴含联结词：$\to$，表示复合命题：“如果P 则 Q”，称之为P与Q的蕴含式，记为$P \to Q$，$P \to Q$当且仅当P为真且Q为假，P成为蕴含式的前件，Q称之为蕴含式的后件。

蕴含联结词P -> Q在自然语言中表示“如果 则”，“因为 所以”、“只要 就”、“仅当”

“只有Q，才P”，“除非Q 才P”、“除非Q 否则$\neg$P”

前件为假时，无论结论是否是真假，整个语句往往无法判断，因此为确定结论，我们使用善意推定。

善意推定：只要P为假，$P \to Q$都为真。（例：如果证据不充分，那么罪犯就是无罪的）

• 等价联结词：$\leftrightarrow$，P当且仅当Q，成为P与Q的等价式；相等为真。

命题联结词$\land, \lor, \leftrightarrow$具有对称性，其他联结词没有对称性。

联结词是两个命题的真值之间的联结，而不是命题内容之间的联结。因此复合命题的真值只和简单命题的真值有关。

联结词的优先级：否定，合取，析取，蕴含，等价

1.3. 命题公式#

• 命题变元:一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，称为命题变量（或命题变元）(propositional variable)，该命题没有具体的真值，变域集合是集合{0, 1}或{T, F}

• 当复合命题由命题变元构成时，可以看成关于命题变元的函数。如果函数的值为“真”或“假”，这样的函数称为“真值函数”或“命题公式”。

• 合式公式(well formed formula, wff)，又称命题公式。

命题公式没有真值，只有指派命题变元的真值后，才能确定